Sur le théorème du point fixe de Brouwer

I.Le résultat fondamental dans la direction des théorèmes du point fixe du type compact est le célébre théorème de L.E.J Brouwer (1912).Ce theoreme est usuel dans les applications de l’analyse , comme il a influencé le developpement de plusieurs branches de mathématiques, en particulier la topologie algébrique.Ce théorème a connu plusieurs généralisations,dans les espaces de Banach de dimension infinie, notemment par Schauder (1930) et Darbo(1955)( par les techniques de la notion de la mesure de non-compacité).

Les deux versions du théorème de Brouwer sont formulées comme suit :

Theoreme1.

Soient E un espace de Banach de dimension finie et K un sous-ensemble de E,non vide, convexe et compact .Alors toute application continue f de K dans K admet ,au moins, un point fixe.

Theoreme2.

Soient ℝ(n) l’espace euclidien et B la boule unité férmé. Alors toute application continue f de B dans B admet, au moins ,un point fixe.

On démontre facilement que ces deux versions sont équivalentes.

La démonstration du théorème du point fixe de Brouwer dans la droite réelle est aisée par le théorème des valeurs intérmédiares :

Soit f une application continue de [a, b] dans [a,b],où [a,b] est un intervalle fermé borné de ℝ .Alors f admet ,au moins, un point fixe.

Mais la démonstration dans ℝ(n) n'est pas immédiate.C'est le résultat important de la théorie du point fixe le plus ancien et le plus délicat à démontrer.On rappelle qu’il existe plusieurs méthodes de démonstrations de ce théorème ;on note que sa démonstration est une conséquence immédiate de la théorie de la topologie algébrique et de la théorie du degré topologique.Aussi,on peut lire les démonstration directes par la méthode des simplexes et le lemme de non-retraction.


II.Remarques.Exemples.
i) Dans le théorème1,il est évident que
Fix(f)={x dans K :f(x)=x} est compact,
mais il n’est pas nécéssairement réduit à un point,comme le montre les exemples suivants :
a)E= ℝ , K=[0,1] et f(x)=x^(2) .Fix(f)={0,1}
b) E= ℝ, K=[-1,1] et f(x)=x|x| .Fix(f)={-1,0,1}
c)E= ℝ(n) , K=B et f(x)=x ||x||.Fix(f)={0}US.
( oû S désigne la sphère dans ℝ(n))
ii) le théorème1 n’est pas valable si :
a) K est seulement compact ;comme exemple, on considere l’application T de S
dans S définie par Tx= -x ;le point fixe possible est le vecteur 0 qui n'appartient pas à S.
b)K est seulement borné et convexe ;comme exemple,on prend E= ℝ(2) ,muni de la
norme euclidienne et K=Int(B)(=le disque unité ouvert);et on considere
l’application T défine sur Int(B) par
T(x,y)=((x+[(1-y^2)]^(1/2) ),y) ;le seul point fixe possible est le vecteur (x,y)qui appartient à S.
c) K est seulement convexe et fermé.
Comme exemple, on prend E= ℝ ,K= ℝ^(+) et on considere les applications continues
qui stabilisent ℝ^(+) et n’admettant aucun point fixe,comme l'application exp(x).
iii) L’exemple suivant, dû à Kakutani (1943) ,montre que si E est de dimension infinie le théorème de Brouwer n’est pas valable .
Soit l’espace des suites l(2) muni de la norme habituelle :

Pour x={x(n) }, | x | =( Sigma(n>0) | x(n) |^(2) )^(1/2)

On sait que ( l(2) , | . | ) est un espace de Hilbert de dimension infinie.Soit T l’application définie sur B (la boule unitè fermée de l(2) ) par :

T : x --->y =( (1-|x |^(2) )^(1/2) ,x(1) ,x(2) ,…)

Il est évident que B est stable par T, T est continue et Fix(T) est vide(à vérifier).

Nota.Pour les références des articles des auteurs cités dans ce texte,voir le message dans ce blog(Références 2/2/2007).

Problème ouvert dans la théorie du point fixe(3)

Peut-on trouver un résultat unifiant les théorèmes du point fixe de Caristi,[Krasnoseleskii et les auteurs] et Kannan?.

Theoreme du point fixe de Caristi

1.On rappelle(voir le message de 26/10/2007, 3eme demonstration du principe de contraction de Banach)le resultat suivant:

Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application continue de E dans E,et il existe une application(quelconque) f de E dans IR^{+} telle que:

d(x,Tx)<=f(x)-f(Tx) sur E

Alors,T admet un point fixe.

Cette formulation generalise le principe de contraction de Banach au niveau seulement de l'existence de point fixe.

2. Dans cette direction,Caristi(1976) a propose le resultat suivant:

Theoreme1.

Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application (quelconque) de E dans E,et il existe une application f de E dans IR semi-continue-inférieurement , minoree et telle que:

d(x,Tx)<=f(x)-f(Tx) sur E

Alors T admet un point fixe.

Pour la démonstration de ce thèoreme on utilise les méthodes d'ordre;on ordonne E par la relation:

x<=y si, et seulement si, d(x,y)<=f(x)-f(y)

et on applique ,par exemple, un resultat d'ordre general de [Brezis-Browder].

(voir aussi [Dugundji-Granas]:[Deimling],[Goebel-Kirk] ).

3.Rappelons le principe variationnel suivant du à Ekeland (qui est équivalent au theoreme1):

Theoreme2

Soit (E,d) un espace metrique complet. f:E -->IR est une fonction semi-continue inferieurement et minoree.On se donne un epsilon >0.Alors , il existe un x=x(epsilon) appartenant à E tel que:

quel que soit y appartenant à E, f(y)>=f(x)-epsilon d(x,y)


La demonstration du theoreme1 à partir du theoreme 2 est presque immediate;en effet:
On applique le theoreme d'Ekelend avec epsilon dans ]0,1[.Donc il existe un x appartenant à E tel que :

pour tout y appartenant à E, f(y)>= f(x)- epsilon d(x,y)

On prend y=Tx;d'où :

d(x,T(x))<= f(x)-f(T(x))<=epsilon d(x,T(x))

donc d(Tx,x)=0 et Tx=x.

4.La formulation de Caristi(theoreme1) est consideree comme une generalisation importante du principe de contraction de Banach,au niveau seulement de l'existence de point fixe, et suscite encore de l'interet;on signale plusieurs generalisations de ce theoreme dans la litterature(voir,par exemple [Downing,D-W.A. Kirk]. [Bae, J. S. - Cho, E. W. - Yeom, S. H. (1994)].[Bae, J.S. (2003)].Aussi,signalons un resultat de Takahashi(1990) unifiant le theoreme de Caristi et le principe de minimisation d'Ekeland.

(Pour la bibliographie des articles cites ci-dessus,voir le message 2/2/2007)

Points fixes communs d'applications commutatives

Exercice

Soit f et g deux applications continues de I=[0,1] dans I.On suppose que fog=gof.
i)Montrer qu'il existe un x appartenant à I tel que f(x)=g(x ).
ii)On suppose que f est croissante sur I ;montrer que f et g ont un point fixe commun.
iii)On suppose que f est affine,c-à-d,f(x)=ax+b,(a et b deux constantes dans IR) ;montrer que f et g ont point fixe commun
iv)On suppose que f est contractante;montrer que l'ensemble des points fixes de f est convexe;en deduire que f et g admettent un point fixe commun

Remarques.
Les resultats classiques concernant le point fixe commun d'une famille
quelconque d' applications sont les theoremes de [Markoff-Kakutani] et [Kakutani].Le premier theoreme concerne le point fixe commun d'une famille d'applications affines et commutatives stabilisant un compact convexe dans les espaces e.v.t.l.c.s.(= espaces vectoriels topologique localement convexes separes );le deuxieme,concerne le point fixe commun d'une famille d'un groupe de bijections affines et equicontinues(non commutatives) stabilisant un compact convexe dans les espaces e.v.t.l.c.s..Rappelons que le theoreme de Markoff-Kakutani est utilisé pour redemontrer le theoreme de Hahn-Banch.Reciproquement,[Dirk Wener] a cherche de demontrer la reciproque;dans son papier,il a presente une demonstration elegante de l'existence du point fixe de toute application affine continue stabilisant un convexe compact dans les les espaces e.v.t.l.c.s.,et ce ,à l'aide de la version forte du theoreme de separartion de Hahn-Banach.
Signalons que [De marr] a etendu le theoreme de Markoff-Kakutani aux applications contractantes dans un espace de Banach quelconque;ce resultat est ameliore par [Belluce -Kirk].
Rappleons aussi, qu'une famille d'applications contractantes commutatives,stabilisant tout convexe borne et ferme dans un espace de Banach uniformement convexe,admet un point fixe commun;la demonstration de ce resultat est presque immédiate.Voir ,par exemple, [Deimling];le meme resultat est valable dans le cadre des espaces de Banach reflexifs strictement convexes à structure normale.
La litterature est relativement importante sur le sujet.Pour un essai de synthese des theoremes du point fixe de [Darbo ]et le theoreme de[Markoff-Kakutani], voir [Hajji-Hanebaly]
Les references figurent dans le message de 2/02/2007

Principe de contraction generalisée (d'après Krasnoselskii et les auteurs).

Parmi les géneralisations intérssantes du principe de
contraction de Banach, on cite le résultat suivant
( Krasnoselskii et les auteurs)

Theoreme

Soit (E,d) un espace metrique complet.Soit T une

contraction generalizee de E dans E ,c-à-d,

pour tout a,b dans IR^{+}-{0],il existe une constante

0< k= k(a,b)<1 telle que:

d(Tx,Ty)<= k d(x,y) , a<=d(x,y)<=b

Alors,T admet un point fixe unique z ,et pour tout x dans

E,la suite {T^{n}x} converge vers z.

Deux demostrations sont proposees.L'une est constructive

similaire à la demonstration originelle du principe de

contraction de Banach(voir [ Krasnoselskii-Burd-Kolesov]
.
L'autre est basee sur un raisonnement par l'absurde et le

principe des ensembles emboites.(Theoreme de Cantor)

(Voir Krasnoselskii-Zabreiko] .


Comme consequence ,on retrouve les resultats suivants:

corollaire.

Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application

E dans E.Alors T admet un point fixe unique si l'une des

conditions suivantes est verifiee:

i) T est strictement contractante

Banach(1922)

ii)E est compact et d(Tx,Ty)< d(x,y) sur ExE

avec x different de y.


Edelstein(1962)

iii) Il existe une fonction f de IR^{+} dans

IR^{+} semi-continue-superieurement,f(r) < r

sur IR^{+}\{0} et telle que


d(Tx,Ty)<= f(d(x,y))) sur ExE.

Boyd-Wong(1969)


iv) Il existe une fonction f de IR^{+} dans

IR^{+} croissante,continue à droite, f(r)< r

sur IR^{+}\{0} et telle que


d(Tx,Ty)<=f(d(x,y)) sur ExE.

Browder(1968)

v) Il existe une fonction f de IR^{+} dans

IR^{+} croissante,verifiant pour tout r dans

IR^{+} ,f^{n}(r)-->o,lorsque n-->l'infini

et telle que

d(Tx,Ty)<= f(d(x,y)) sur ExE.

Matkowski(1975)

Preuve:

La demonstration est facile.Pour i) c'est evident.

Demontrons par exemple ii).

Soit a,b dans IR^{+}-{0}.Puisque K est compact et

T est continue,il existe (x_{0},y_{0}) dans KxK tel que:

sup{ d(Tx,Ty)/d(x,y): a<=d(x,y)<= b}

=d(T(x_{0},Ty_{0})/d(x_{0},y_{0})<1.

Demontrons v).Soit a,b dans IR^{+} -{0} .Par recurrence ,on a:

d(T^{n}x,T^{n}y)<=f^{n}(d(x,y)) sur ExE.

Comme f^{n}(b)--> 0,lorsque n--->l'infini, on peut choisir

un n tel que f^{n}(b)< a ; il suit que, pour

0< a <=d(x,y)<= b,et en tenant compte que ,pour tout n dans

IN, f^{n} est croissante,on a:

d(T^{n}x,T^{n}y)<=f^{n}(d(x,y))


= [f^{n}(d(x,y))/d(x,y)]d(x,y)

<= f^{n}(b)/a]d(x,y)

Par le theoreme ci-dessus,T^{n} admet un point fixe unique z,

et de là,z est aussi,un point fixe unique de T.

Exercice.Démontrer directement les résultats du corollaire.

(Pour la bibliograhie ,voir message réferences 2/02/2007).

Point fixe des applications contractantes

1)Exercice.

Soit (E,d) un espace métriqe compact.

T est une application continue

(ou plus generalement fermée ou à graphe fermé)

de E dans E

i)Montrer par un exemple que T n'a pas

necessairement un point fixe.

(voir un exemple dans le message de 18/12/07)

ii)Démontrer que T admet un point fixe si

T admet une suite de points

fixes approches,c-à-d,il existe une suite

{x_{n}}dans E telle que d(x_{n},Tx_{n})

tend vers 0,lorsque n tend vers l'infini

2.Exercice

A.Soit (E,|.|) un espace de Banach.D est un

sous-ensemble de E , non-vide, convexe, borne

et ferme.T est une application contractante

de D dans D.

i)Montrer,par un exemple, que T n'a pas nécessairement

un point fixe.

(voir un exemple dans le message de 18/12/07)

ii)Démontrer que T admet des points fixes approches.

B.Soit [H,(.,.),I.I] un espace de Hilbert.

D est un sous-ensemble de H,non-vide, convexe, borne

et ferme.T est une application contractante de D dans D.

{u(n)} désigne une suite de points fixes approches de T.

u est la limite faible d'une sous-suite de {u(n)}

Justifier l'existence de u.

iii)Soit v un élément quelconque de H et P est l'opérateur

de projection sur D.Justifier l'existence de P.

On admet que P est une application contractante

de H dans D.

Montrer que:

(u(n)-v-Tu(n)+TP(v),v-u(n))<=0,

quel que soit v dans H.

En deduire que:

(TP(v)-v,v-u)<=0,

quel que soit v dans H.

iv)Considérons un élément quelconque w dans H

et définissons v par:

v=u+tw avec t>0

Montrer que (TP(u)-u,w)<=0.

En déduire que u est un point fixe de T.

v) Montrer que Fix(T)={u dans D:Tu=u}

est un ensemble convexe,borne et ferme.

Remarque.Le théorème du point fixe présenté

dans l'exercice2 ci-dessus,est du a Browder.

On démontre aussi que ce résultat est valable

dans les espaces de Banach uniformément

convexe(Browder et Gohde)et plus généralement

dans les espaces de Banach réflexif à

structure normale(Kirk).Ces quatres articles

ont éte publiés, d'une manière indépendante,

au cours de la meme année 1965;

c'était le point de départ des recherches

importantes,quantitatves et qualitatives,

sur les Applications contractantes et la

théorie du point fixe.Soulignons que la demarche

de Kirk a suscite plus d'interet dans ces recherches.

Pour un apercu sur ces travaux,on peut

consulter,par exemple,les lectures de

Kirk(1981),Goebel-Kirk(1990) et Kirk(1996).

Le dernier papier est consacré aux problèmes

ouverts.

Enfin ,notons que la demonstration du theoreme

de Browder et Browder- Gohde,dans les espaces

de Hilbert et les espaces uniformement convexes ,

est presentee d'une maniere assez

simple avec la notion du centre asymptotique.


(voir le message de 18/12/07 pour des exemples sur

ce sujet.voir le message-références de 2/2/07 pour

les articles cites ci-dessus)

Une version du theoreme du point fixe de Banach du type integral

8.Notation On désignera par IN(f,0,a) l'intégrale de f sur

l'intervalle [0,a] dans IR.

Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application

de E dans E verifiant :

Il existe k dans (0,1[ telle que :

IN(f,0,d(Tx,Ty))<=k IN(f,0,d(x,y)) , sur ExE

ou f est une fonction de IR^{+} dans IR^{+},localement sommable et pour tout \epsilon >0 ,

IN(f,0,\epsilon)>0.

Demontrer que T admet un point fixe unique z;et pour

tout x dans E, la suite {T^{n}x} converge vers z.

Comparer ce resultat avec le theoreme du point fixe de

Banach.

(D'après Branciari.Voir message references)