Le principe de Caristi-Ekeland

1.On rappelle(voir le message de 26/10/2007, 3ème démonstration du principe de contraction )le résultat suivant:

Soit (E,d) un espace métrique complet.T est une application continue de E dans E et il existe une application(quelconque) f de E dans IR^{+} telle que:

d(x,Tx)<=f(x)-f(Tx) sur E

Alors,T admet un point fixe.

Cette formulation généralise le principe de contraction au niveau de l'existence du point fixe.

2. Dans cette direction,Caristi(1976) a proposé le résultat suivant:

Théorème1.

Soit (E,d) un espace métrique complet.T est une application (quelconque) de E dans E et il existe une application f de E dans IR semi-continue-inférieurement , minorée et telle que:

d(x,Tx)<=f(x)-f(Tx) sur E

Alors T admet un point fixe.

Pour la démonstration directe de ce thèorème on utilise les méthodes d'ordre;on ordonne E par la relation:

x<=y si, et seulement si, d(x,y)<=f(x)-f(y)

et on applique ,par exemple, le résultat d'ordre général de [Brezis-Browder].

(voir aussi [Dugundji-Granas]:[Deimling],[Goebel-Kirk] ).

3.Rappelons le principe variationnel suivant dû à Ekeland :

Theoreme2

Soit (E,d) un espace métrique complet. f:E -->IR est une fonction semi-continue inférieurement et minorée.On se donne un epsilon strictement positif.Alors , il existe un x=x(epsilon) appartenant à E tel que:

pour tout y dans E,f(y)>=f(x)-epsilon d(x,y)


4.Les théorèmes 1 et 2 sont équivalents;en effet:

Le théorème2 entraine le théorème1.

On applique le théorème d'Ekelend avec epsilon dans ]0,1[.Donc il existe un x appartenant à E tel que :

pour tout y dans E, f(y)>= f(x)- epsilon d(x,y)

On prend y=Tx;d'où :

d(x,T(x))<= f(x)-f(T(x))<=epsilon d(x,T(x))

donc d(Tx,x)=0 et Tx=x.

Le théorème1 entraine le théorème2

On utilise l’axiome de choix.Supposons le contraire, alors il

existe un epsillon strictement positif tel que pour tout x dans E ,il existe un

g(x) différent de x tel que

f(g(x))<= f(x)- d(x, g(x))

D’oû g admet un point fixe.Contradiction .

5.La formulation de Caristi(theoreme1) est considérée comme une généralisation importante du principe de contraction de Banach,au niveau seulement de l'existence du point fixe, et suscite encore de l'intérêt;on signale plusieurs généralisations de ce théorème dans la littérature(voir,par exemple [Downing,D-W.A. Kirk]. [Bae, J. S. - Cho, E. W. - Yeom, S. H. (1994)].[Bae, J.S. (2003)].Aussi,signalons un résultat de Takahashi(1990)qui propose un résultat de minimisation non-convexe, unifiant le théorème de Caristi et le principe de minimisation d'Ekeland.

(Pour la bibliographie des articles cites ci-dessus,voir le message 2/2/2007)